Geometrie Frage (Würfel)

Vielleicht kann mir jemand folgendes Geometrie-Problem lösen. Bei mir ist das schon zu lange her, ich komme da nicht hin. Ich würde gern wissen, wenn ich einen Würfel habe mit einer jeweiligen Seitenlänge von sechzig Zentimetern, wie lang ist dann der Abstand von einer Würfelspitze zur gegenüberliegenden Würfelspitze? Und wie rechnet man das?

Ich denke ich habe eine Seite im Internet gefunden, die dir mit deinem Problem weiterhilft. Hier findest du die Erklärung mit einer Zeichnung zum besseren Verständnis, da ich dir das wahrscheinlich nicht annähernd erklären kann .

Schau mal bei dieser Seite. Da ist die Formal drin. Bei Vierecke die Formel zur Berechnung der Diagonalen. Sind ja auch Zeichnungen zum besseren Verständnis dabei.

Du musst zwei mal den Satz von Pythagoras anwenden. Erst bildest du so die Diagonale in der Grundfläche und mit dieser und einer Kante dann die Diagonale durch den Raum.

Für die erste Diagonale gilt: d_1 zum Quadrat = 2 a²
Für die zweite Diagonale gilt: d_2 zum Quadrat = a² + d_1 zum Quadrat = a² + 2 a² = 3 a³ --> d_2 = a mal Wurzel 3

Das ist sehr einfach. Du rechnest zuerst mit dem Pythagoras die Diagonale einer Begrenzungsfläche des Würfels aus: d = Wurzel(Kantenlänge² + Kantenlänge²), = 60 mal Wurzel( 2 ). Dann die Raumdiagonale, ich nenne sie einmal rd, auch wieder mit dem Pythagoras rd= Wurzel( Kantenlänge² + d² ) = Wurzel (60² + ( 60 mal Wurzel( 2) )² ) = 60 mal Wurzel( 3). Ist also ganz einfach. Die Rechnungen wurden nur in Maßzahlen durchgeführt. Die Einheiten sind Zentimeter. Wenn du in der Formelsammlung nachschaust, findest du aber auch eine Formal dafür.

Du kannst das Ganze natürlich auch trigonometrisch lösen.

(1)
mit dem PLS berechnest du die Diagonale in der Grundfläche [ a²+a²=d² ... 2*a²=d² ... 2*60²=7200 (Wurzelziehen) = ~84,85 (mit genauem Ergebnis weiterrechnen! ) ]
(2)
nun zur Raumdiagonale, diese funktioniert wieder mit dem PLS
[ a²+d²=E² ... 60²+84,85²=E² ... 3600+7200=10800 (Wurzelziehen) = ~103,92 ]
A: ~103,92 cm lang

Natürlich ginge es ja auch mit 3*a²=E², darauf kommt man, wenn man die erste Formel in die zweite Formel einsetzt (2*a²=d² also kann man 2*a² in der zweiten Formel für d² einsetzen)