Was ist eine Ableitung?

Hallo,
wie schon in der überschrift steht, würde ich gerne wissen, was genau eine Ableitung einer Funktion ist. Ich weiß zwar, wie man die Ableitung einer Funktionen herausfindet, verstehe aber leider nicht was diese Ableitung der Funktion mir sagt bzw. zeigt.

Weiß da einer vielleicht was man mit der Ableitung anfangen kann und wozu sie gut ist?

Die Ableitung gibt an wie groß die Steigung der Stammfunktion ist. Ich denke an einem Beispiel kann man das aber besser erklären:
Wenn du wissen willst wie groß die Steigung deiner Funktion in einem beliebigen Punkt x ist (z.B. x=3), dann setzt du in deine Ableitung für x 3 ein. Das Ergebnis sagt dir dann wie groß die Steigung der Funktion im Punkt 3 ist.

Wenn du in der Funktion an jedem Punkt eine Tangente zeichnest, hast du jedes mal eine andere Steigung. Die Ableitung ist jetzt die Funktion, die an jedem Punkt die Steigung der ursprünglichen Funktion angibt. Wenn du die Steigung der Funktion in einem bestimmten Punkt wissen willst, setzt du den x-Wert einfach in die Ableitung ein und erhältst dann die Steigung.

Die Ableitung einer Funktion sagt dir auch, wo diese ihre Extremstellen hat. Für die Extremstellen (Maxima und Minima) setzt du die Ableitung = 0 und löst diese dann nach x auf. Die x-Werte setzt du dann in die ursprüngliche Funktion ein und erhältst die Extrempunkte.

Oder, um es nochmal allgemeiner zu sagen: Die Ableitung ist das, was geometrisch die Tangentensteigung ist. Die Vorposter erwähnten ja bereits, dass man quasi an jeden Punkt der Funktion eine Tangente (also eine Gerade, die den Graphen nur in einem Punkt berührt) zeichnet - die Ableitung gibt nun die Steigung dieser Geraden an. Deswegen gilt die Beziehung:

f'(x) = m = atan(alpha) = y / x

Wobei m die Steigung in der allgemeinen Geradengleichung y = mx + b ist. So viel zur Ableitung und Steigung in einem Punkt.

Dasselbe kann man natürlich auch mit einer ganzen Funktion (und nicht nur mit einem einzelnen Punkt machen): Du sagtest ja, dass du weißt, wie man mathematisch differenziert. Was du dabei im Prinzip machst, ist jeden Punkt der Funktion auf seine Steigung abzubilden. Was dabei rauskommt, ist eine Funktion mit Graph, der dir die Steigung in jedem Punkt zeigt. Ganz anschaulich ist das an einfachen Beispielen:

f(x) = 5 => f'(x) = 0 Da in jedem Punkt die Steigung gleich 0 ist.
f(x) = 5x => f'(x) = 5 Da in jedem Punkt die Steigung gleich 5 ist.
f'(x) = 5x² => f'(x) = 10x Da hier die Steigung vom Punkt auf der x-Achse abhängt.

Funktionen kann man natürlich auch grafisch differenzieren, aber keine Ahnung, ob du das wissen willst / musst