Skalarprodukt bildlich vorstellen

Ich sollte vor kurzem einer Schülerin das Skalarprodukt bzw. die Rechnung erklären. Diese ist ja nicht sonderlich schwer: (a1 a2 a3) * (b1 b2 b3) = a1*b1 + a2*b2 + a3*b3

Nun kam dann aber natürlich die Frage: "Wie kann ich mir das denn vorstellen, was ist denn dann das Produkt daraus?" Leider konnte ich ihr da nicht beantworten. Ich habe selber keine Ahnung was das dann genau darstellt. Habe es einfach immer so hingenommen und nicht weiter darüber nachgedacht. Im Netz habe ich keine guten Bericht bzw. Erklärungen darüber gefunden. Zumindest nichts was ich einer Zwölftklässlerin anschaulich erklären kann.

Hat jemand eine einfache Beschreibung oder Erklärung?

Hallo,

Am besten kann ich mir die Rechnung so vorstellen: Nehmen wir an dein Vektor (a1 a2 a3) wäre der Vektor (1 1 1). Du hast vom Nullpunkt aus also 3 einzelne Vektorpfeile, die dich auf den Punkt (1 1 1) hinführen. Also gehst du erst um 1 Einheit nach rechts, um eine Einheit aus der Zeichenebene und eine Einheit nach oben und schon bist du bei deinem Punkt (1 1 1).

Jetzt nehmen wir an dein zweiter Vektor (b1 b2 b3) wäre (1 2 3).
Da du in deinem Beispiel a1 mit b1 multipliziert hast, heißt das in dem Fall, dass jeder einzelne Vektor a1, b1 und c1 um das bx-Fache multipliziert - hier gestreckt - wird.

Bildlich vorgestellt: Deine x1-Komponente von a1 zeigt 1 Einheit nach rechts. Dieser wird um 1x gestreckt, es verändert sich also nichts. Deine x2-Komponente a2 zeigte 1 Einheit aus der Ebene. Da dieser mit b2=2 multpliziert wird, wird diese Komponente also um den Faktor 2 gestreckt, sprich er wird in diese Richtung doppelt so lang. Das Gleiche wendest du auch auf die x3-Komponente an. Dieser wird um das 3-Fache von 1 gestreckt, hat also danach die Länge 3.

Raus bekommst du also den Vektor (a1*b1 a2*b2 a3*b3) = (1*1 1*2 1*3) = (1 2 3), das nichts anderes ist als die Streckung von (a1 a2 a3) um (b1 b2 b3).

Immer wieder das selbe Problem in der analytischen Geometrie: man kann sich einen Sachverhalt nicht vorstellen, wo doch die Geometrie eigentlich so schön in unserem dreidimensionalen Raum arbeitet. Normalerweise habe ich in der Hinsicht immer ein paar gute Ratschläge zur Hand, aber hier muss ich dich enttäuschen - das Skalarprodukt kann man sich eigentlich kaum vorstellen. Trotzdem versuche ich natürlich mein Bestes.

Neben der von dir genannten Formel für das Skalarprodukt gibt es ja noch eine zweite:
a · b = |a| · |b| · cos alpha
wobei alpha der Winkel zwischen den Vektoren ist.

Das kann man Umformen, da der Kosinus sich durch den Sinus darstellen lässt:
a · b = |a| · |b| · sin (alpha - 90°)

Kurz nachgedacht... die Formel kommt einem doch bekannt vor!
Flächeninhalt eines Dreiecks: A = 0.5 · a · b · sin alpha

Wenn man dies nun auf den Sachverhalt Skalarprodukt bezieht, dann heißt das: das Skalarprodukt ist ein Maß für den halben Flächennhalt des Dreiecks, das entsteht. wenn man einen der Vektoren um 90° bezüglich des anderen dreht und nun

Was besseres fällt mir dazu leider nicht ein, aber ich denke mit einer Skizze kann man das gut veranschaulichen. Wie so vieles anderes in der Mathematik auch ist das Skalarprodukt ein rein mathematischer Formalismus, den man anzuwenden verstehen muss. Die Vorstellung ist da eher nebensächlich.