Benötige Hilfe bei einer Stochastik Aufgabe

Ich bereite mich derzeit auf einen äußerst wichtigen Test vor und gehe dazu die einzelnen Themenbereiche durch. Beim Thema Stochastik ist eine Aufgab, die ich nicht Lösen kann. Diese Aufgabe sieht wie folgt aus. Es liegen bei einem Test vier Aufgaben vor, mit jeweils drei Antwortmöglichkeiten zum Ankreuzen, wobei auch mehrere oder keine Antwort richtig sein können. Ein Kandidat kreuzt zufällig nur eine Antwort pro Aufgabe an. Gesucht ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Kandidat alle 4 Fragen beantwortet hat.

Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte einen Ansatz zu finden, denn bei dieser Aufgabe habe ich keine Ahnung wo ich anfangen soll.

Allgemein wird eine Wahrscheinlichkeit nach folgender Formel berechnet:

P(X) = Anzahl der zutreffenden Möglichkeiten : Anzahl aller Möglichkeiten

P = Wahrscheinlichkeit
X = Ereignis welches berechnet wird

Da wir die Anzahl aller Möglichkeiten nicht kennen, berechnen wir diese.

Berechnung der Anzahl aller Möglichkeiten
Pro Aufgabe gibt es 8 Möglichkeiten zum ankreuzen.

Ich stelle hier alle Möglichkeiten dar (x = angekreuzt; o = nicht angekreuzt):
xxx; xxo; xox; oxx; xoo; oxo; oox; ooo

Da es vier Aufgaben sind, gibt es insgesamt 4096 Möglichkeiten (8 hoch 4) zum ankreuzen.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit
Von den 4096 Möglichkeiten wird zufällig eine Möglichkeit gewählt.

P(X) = 1 : 4096 = 0,00024 (gerundet)

Die Wahrscheinlichkeit beträgt also rund 0,024%

So hätte ich die Aufgabe gelöst. Ich hoffe, dass ich alles richtig gerechnet habe.

Durch Umdenken lässt sich der Sachverhalt erstaunlich vereinfachen.

Es liegen 4 Aufgaben mit je 3 Antowrten vor. Dabei muss man aber bedenken, dass bei jeder Frage keine bis drei richtige möglich sind. Deshalb kann man sich das ganze auch so vorstellen: es sind insgesamt zwölf (drei mal vier) Kästchen da, die - voneinander unabhängig - entweder angekreuzt sind oder nicht. Möchte man also in dem Test alles richtig machen, dann muss jedes Kreuz richtig gesetzt sein. Dadurch ergeben sich 4096 (zwei hoch zwölf) Möglichkeiten für einen Test.

Jetzt kommt der schwierigere Teil der Aufgabe, da man zusätzlich beachten muss, dass der Kandidat nur ein Kreuz pro Aufgabe setzt. Dafür kann man das Ereignis in zwei unabhängige Teilereignisse aufteilen.

Zuerst bestimmt man die Anzahl der möglichen Tests, die der Kandidat schreiben könnte. Es gibt vier Fragen zu je drei Antworten, also 81 (drei hoch vier) verschiedene Tests. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer dieser Tests richtig ist beträgt demzufolge 81/4096. Nun muss man das noch mit der Wahrscheinlichkeit verbinden, mit Kandidat den Test auswählt. Da jeder gleichwahrscheinlich ist, ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von 1/81.

Zusammengefasst ist die Wahrscheinlichkeit also 1/4096 (1/81 mal 81/4096). Daraus lässt sich der Schluss ziehen: es ist vollkommen irrelevant, ob der Kandidat nun immer nur ein Kreuz setzt oder wild durcheinander antwortet: die "Gewinnwahrscheinlichkeit" ist immer gleich (niedrig).