Facharbeit "Fraktale"

Also, hier stelle ich jetzt einmal meine Facharbeit zum Thema "Fraktale" rein, die ich (natürlich) in Mathematik abgehalten habe. Ich hoff mal, dass das mit den Bildern funktioniert, wenn nicht, werde ich versuchen, die anders anzuhängen, damit ihr auch wirklich alles habt. Die Fußnoten sind ja, denke ich einmal, nicht so wichtig, von daher einfach nicht beachten, das Literaturverzeichnis kann ich ja aber trotzdem reinstellen.

Falls es Antworten zu bestimmten Teilen gibt, teile ich die Facharbeit einfach mal ein bißchen auf in größere Abschnitte, um gegebenenfalls nur auf den bestimmten Teil eine Antwort schreiben zu können, damit nicht immer die gesamte Facharbeit zitiert werden muss. Viel Spaß damit für alle, die etwas zu diesem interessanten Thema suchen!

Inhaltsverzeichnis

1 Vorwort 3

1. Erklärung von Grundbegriffen 3
1.1 Dimension 4
1.1.1 Euklidische Dimension 4
1.1.2 Topologische Dimension 5
1.1.3 Fraktale Dimension 6
1.1.4 Ähnlichkeitsdimension 7
1.2 Selbstähnlichkeit 7
1.3 Rückkopplung 10
1.4 Verhalten von Orbits 10

2 Logistische Gleichung 11

3 Fraktale 12
3.1 Julia-Mengen 12
3.1.1 Graphische Darstellung von Julia-Mengen 13
3.1.2 Fundamentale Dichotomie 15
3.2 Mandelbrot-Menge 17
3.2.1 Struktur der Mandelbrot-Menge 18
3.2.2 und die Mandelbrot-Menge 20
3.2.3 Verallgemeinerung der Mandelbrot-Menge 21
3.3 Sierpinski-Dreieck 22

4 Bezüge zur Natur 24

5 Schlusswort 27

Und ab hier geht jetzt die wirkliche Facharbeit los.

1 Vorwort

„Warum wird die Geometrie oft als „nüchtern“ und „trocken“ bezeichnet? Nun, einer der Gründe besteht in ihrer Unfähigkeit, solche Formen zu beschreiben, wie etwa eine Wolke, einen Berg, eine Küstenlinie oder einen Baum. Wolken sind keine Kugeln, Berge keine Kegel, Küstenlinien keine Kreise. Die Rinde ist nicht glatt – und auch der Blitz bahnt sich seinen Weg nicht gerade.“
Mit diesen Worten begründete Benoît Mandelbrot in seinem Werk „Die fraktale Geometrie der Natur“ die Entwicklung eines neuen Bereichs in der Geometrie, dessen Figuren er allesamt „Fraktale“ nannte. Den Namen „Fraktal“ leitete er vom lateinischen Wort „fractus“ („gebrochen“) her. Der Grund liegt darin, dass fast sämtliche fraktalen Gebilde eine ungerade („gebrochene“) fraktale Dimension besitzen. Hier merkte er an, dass „das entsprechende lateinische Verb „frangere“ [...] „zerbrechen: unregelmäßig Bruchstücke erzeugen“ [bedeutet]“ . Somit bedeutet „fractus“ zusätzlich zu „gebrochen“ auch noch „irregulär“, was eine weitere Eigenschaft der fraktalen Gebilde ist.
Durch ihren Formenreichtum und den ästhetischen Reiz werden sie sowohl in der digitalen Kunst als auch bei computergestützten Simulationen formenreicher Strukturen, wie beispielsweise realitätsnahe Berglandschaften, eingesetzt.


2 Erklärung von Grundbegriffen

Zunächst müssen einige Grundbegriffe erläutert werden, welche im weiteren Verlauf sehr oft verwendet werden.


2.1 Dimension

Da es sich bei Fraktalen streng genommen um ein rein geometrisches Thema handelt, ist der erste Zugang die Berechnung ihrer Dimension. Als die Mathematiker in ihrer Krise zwischen 1875 und 1925 erkannten, dass es vor Allem für die neu entdeckten Fraktale nicht mehr ausreichte, ihre Dimension als Anzahl der zur vollständigen Beschreibung nötigen Parameter zu definieren, begannen sie, den Begriff Dimension zu analysieren. Als Ergebnis entstand eine große Anzahl an unterschiedlichsten Definitionen, von welchen die wichtigsten nun erläutert und Beziehungen zwischen ihnen hergestellt werden.

2.1.1 Euklidische Dimension

Das bereits erwähnte Verfahren, die Dimension eines geometrischen Objektes so zu definieren, dass sie die Anzahl an nötigen Parametern zur vollständigen Beschreibung ist, entspricht dem Dimensionsbegriff von Euklid.
Um eine Gerade zu beschreiben, braucht man genau einen Parameter, nämlich die -Koordinatenachse, sie besitzt also die euklidische Dimension . Für eine Ebene hingegen braucht man zwei Parameter, nämlich entweder die - und die -Koordinatenachsen oder die Polarkoordinaten und , sie ist also zweidimensional.
Unterstützung findet diese Definition bei der linearen Algebra, bei welcher die Dimension eines Vektorraums gleich der Anzahl seiner Basisvektoren ist, was genau der minimalen Anzahl an Koordinatenachsen entspricht.
Wie jedoch bereits von den Mathematikern des 19. und 20. Jahrhunderts festgestellt, reicht diese Definition des Begriffes Dimension nicht mehr aus, um beispielsweise den Cantor-Staub (siehe Abbildung 2.1.1.1) und die Mandelbrot-Menge (siehe Abbildung 2.1.1.2) hinreichend zu definieren, welche beide die euklidische Dimension , sonst jedoch kaum Gemeinsames besitzen.

Abbildung 2.1.1.1: Cantor-Staub


Abbildung 2.1.1.2: Mandelbrot-Menge


2.1.2 Topologische Dimension

Um die topologische Dimension eines geometrischen Objektes zu bestimmen, muss man rekursiv vorgehen. Man wählt für die leere Menge. Infolge dessen besitzt ein Objekt die Dimension , wenn Teile des Objektes durch Objekte mit der Dimension zu separieren sind und die kleinste dieser Dimensionen ist.
· Für die Trennung eine abzählbaren Menge, die kein Kontinuum ist, benötigt man nichts. Die topologische Dimension ist folglich .
· Eine Gerade kann durch einzelne Punkte unterteilt werden. Also ist die topologische Dimension .
· Eine Ebene kann durch eine Gerade separiert werden: .
· Ein Würfel kann schließlich durch eine Ebene zerschnitten werden. Seine topologische Dimension ist folglich .
Für die bisherigen, „einfachen“ geometrischen Objekte war diese Definition ausreichend. Bei einem Objekt jedoch, welches beispielsweise „i“-förmig ist, kommt es zu Schwierigkeiten. Betrachtet man das gesamte „i“ als Ganzes, so benötigt man nichts, um es zu separieren, es besäße folglich die topologische Dimension . Genauso verhält es sich mit dem „i“-Punkt, dessen lokale Dimension ist. Um den „i“-Strich jedoch zu unterteilen, benötigt man einzelne Punkte. Die lokale Dimension des „i“-Strichs wäre also . Da jedoch das gesamte „i“ die topologische Dimension besitzt, definieren wir sie als das Maximum der lokalen Dimensionen seiner Teile.
Bereits hier wird sichtbar, dass die topologische Definition des Begriffes Dimension nicht mehr ausreicht, um formenreiche Objekte eindeutig darzustellen, da bei unterschiedlicher Betrachtung völlig unterschiedliche topologische Dimensionen entstehen können.

2.1.3 Fraktale Dimension

Benoît Mandelbrot definierte den Begriff Fraktal folgendermaßen:
„Ein Fraktal ist nach Definition eine Menge, deren Hausdorff-Besicovitch-Dimension echt die topologische Dimension übersteigt.“
Die dort erwähnte Hausdorff-Besicovitch-Dimension ist ein Synonym für die fraktale Dimension, benannt nach den Mathematikern, die sie definiert haben. Aus diesem Grund wird die fraktale Dimension auch oft mit abgekürzt. Die Eigenschaft, dass für alle Fraktale gilt, leitete er folgendermaßen ab:
Im euklidischen Raum ist . Da aber auch ein Bruch sein kann, allerdings ganzzahlig sein muss, genügt also außerhalb des euklidischen Raums, in welchem sich die Fraktale nicht mehr befinden, die Ungleichung von Szpilrajn: .
Zur Berechnung der fraktalen Dimension verfährt man folgendermaßen: Man bedeckt das Objekt mit Kreisscheiben des Durchmessers . Die Anzahl der zur Abdeckung benötigten Kreisscheiben sei . Hier sei anzumerken, dass das Objekt so bedeckt wird, dass minimal ist. Unter diesen Voraussetzungen lässt sich die fraktale Dimension als berechnen, sofern der Grenzwert existiert.


2.1.4 Ähnlichkeitsdimension

Die Ähnlichkeitsdimension kann als Spezialfall der fraktalen Dimension angesehen werden, und zwar insofern, als sie nur für selbstähnliche Fraktale definiert ist. Der Begriff der Selbstähnlichkeit wird später erklärt.
Tatsächlich benutzten viele Mathematiker die Ähnlichkeitsdimension, um die fraktale Dimension eines Fraktals zu erraten, da die strenge Ermittlung des Grenzwertes des Ausdrucks unter Umständen sehr schwierig sein kann.
Bei selbstähnlichen Fraktalen jedoch ist dies recht einfach, da hier der Ausdruck konstant ist, weshalb die Betrachtung eines bestimmten und des dazugehörigen genügt, um den Grenzwert zu bestimmen.

2.2 Selbstähnlichkeit

„ Es stand sehr schlimm um des
Bandwurms Befinden.
Ihn juckte immer etwas hinten.
Dann konstatierte der Doktor Schmidt,
Nachdem er den Leib ihm aufgeschnitten,
Daß dieser Wurm an Würmern litt,
Die wiederum an Würmern litten –„
Dieses Gedicht von Joachim Ringelnatz zeigt eindrucksvoll und auf relativ einfache Weise, was unter Selbstähnlichkeit zu verstehen ist: Unabhängig vom Skalierungsfaktor sehen wir einen Wurm, in dessen Körper sich Würmer befinden, in deren Körper sich wiederum Würmer befinden, usw.
Da der Begriff Selbstähnlichkeit nichts anderes bedeutet als dass das Objekt invariant gegenüber jedem oder einem bestimmten Skalierungsfaktor ist, wird auch häufig Skaleninvarianz als Synonym für Selbstähnlichkeit verwendet. Tatsächlich jedoch ist der Begriff Skaleninvarianz mathematisch weitaus klarer definiert als die Selbstähnlichkeit.
Die Selbstähnlichkeit lässt sich nämlich folgendermaßen unterteilen:
· Selbstähnlichkeit an einem bestimmten Punkt: Nur für einen bestimmten „Grenzpunkt“ (meist der Punkt, an dem die Größe der Kopien gegen strebt) ist das Objekt selbstähnlich.
· Statistische Selbstähnlichkeit: Die kleinen Kopien des Ausgangsobjektes sehen zwar aus wie das Ausgangsobjekt selbst, besitzen jedoch geringe Abweichungen.
Vergleichbar hiermit wäre z.B. der Versuch, einen 10cm langen und 0,1cm dicken „Holz-Stab“ mit der Hand mittig zu teilen. Die entstehenden „Hälften“ sehen zwar so aus, als seien sie Verkleinerungen des 10cm-langen „Stabes“ um den Skalierungsfaktor , da sich jedoch die Dicke nicht verändert hat und auch die Länge mit großer Sicherheit nicht exakt 5cm beträgt, sind sie keine exakten Kopien des Ausgangsobjektes.
· Selbstaffinität: Die Selbstähnlichkeit des Objektes beschränkt sich auf einen gewissen Bereich des Objektes und auf eine begrenzte Anzahl an Skalierungsfaktoren. Ein gutes Beispiel hierfür ist ein Farnblatt, welches in der Abbildung 2.2.1 dargestellt ist.

Abbildung 2.2.1: Farnblatt mit vergrößerter Kopie

Wie bereits die Abbildung 2.2.1 gut zeigt, ist ein einzelnes „Teilblatt“ des Farnblatts vergrößert wieder eine exakte Kopie des Farnblatts selbst. Betrachtet man jedoch den Stiel des Farnblatts, so fällt auf, dass ein kleiner Bereich zum Stielansatz hin nicht mit „Teilblättern“ bedeckt ist. Somit beschränkt sich die Selbstähnlichkeit auf den Bereich, an dem sich „Teilblätter“ befinden, der Rest des Farnblatts besitzt keinerlei Ähnlichkeiten. Auch ist das Farnblatt nicht skaleninvariant, da mit abnehmender Größe der „Teilblätter“ ihre Blattstruktur und ihre Form immer „ungenauer“ werden und somit nicht mehr selbstähnlich sind, was damit zusammenhängt, dass es sich hierbei um ein natürliches fraktales Objekt handelt, welches aus Molekülen einer gewissen Mindestgröße aufgebaut ist. Würde man noch über den Molekülgrößen-Skalierungsfaktor hinaus skalieren, würden sich jegliche Ähnlichkeiten vollkommen auflösen, da ein Molekül aus einzelnen Atome aufgebaut ist, welche vollkommen unterschiedlich angeordnet sein können und sich keineswegs „Farnblatt“-ähnlich anordnen.
· Exakte Selbstähnlichkeit: Das Objekt ist invariant gegenüber jedem Skalierungsfaktor, d.h. es befinden sich exakte Kopien des Ausgangsobjektes in der Nähe jedes Punktes des Objektes. Diese Definition entspricht der der Skaleninvarianz. Exakte Selbstähnlichkeit ist beispielsweise beim Sierpinski-Dreieck vorhanden, welches in Kapitel 4.3 behandelt wird.

2.3 Rückkopplung

Das Prinzip der Rückkopplung, welches die Grundlage zur Generierung von Fraktalen darstellt, ist an sich ein sehr einfaches: Man wählt als Startwert eine Zahl und definiert eine Funktion . Anschließend berechnet man den Funktionswert , welcher nun wiederum als Eingabewert der Funktion dient, man berechnet also danach . Dieser Vorgang wird unendlich oft wiederholt, wodurch man eine unendliche Anzahl an Werten erhält, bei welchen jeweils der nachfolgende den Funktionswert des vorhergehenden darstellt. Eine dieser Wiederholungen nennt man Iteration, der -te Funktionswert von wird demnach als -te Iterierte oder bezeichnet.


2.4 Verhalten von Orbits

Die durch Rückkopplung erhaltene Folge wird als Orbit von bezeichnet. Interessant ist nun, wie sich der Orbit für sehr große verhält.
· Ist Fixpunkt, so ist der Orbit von konstant. Als Beispiel wird die Funktion betrachtet, welche genau zwei Fixpunkte besitzt, nämlich und . heißt in diesem Fall Vorfixpunkt, da er erst nach einer Iteration in einen Fixpunkt übergeht.
· Ein Orbit kann sich zyklisch wiederholen, d.h. er springt zwischen mehreren Werten hin und her. Der kleinste Zyklus wird Periode des Orbits genannt. Zu der Funktion beispielsweise ist der Orbit von zyklisch mit der Periode 2:


...
· Zeigt der Orbit keinerlei Struktur, so heißt er chaotisch. Dies ist jedoch streng von Zufall zu unterscheiden, da Zufall ein Begriff aus der Stochastik ist. Der chaotische Orbit jedoch ist reproduzierbar, d.h. er liefert stets wieder das selbe chaotische Verhalten. Um diese Eigenschaft zu unterstreichen, wird dieses Verhalten deterministisches Chaos genannt.
· Der Orbit kann gegen einen bestimmten Wert konvergieren oder divergieren, meist sind dies die Werte oder . So konvergiert beispielsweise die Funktion für gegen , für divergiert sie gegen .


3 Logistische Gleichung

Um ein einfaches Modell des Wachstumsverhaltens einer Population zu entwickeln, nahm man an, dass die Zunahme der Populationsgröße in einem bestimmten Zeitintervall direkt proportional zur Populationsgröße im vorangehenden Zeitintervall ist. Man bezeichnete die Populationsgröße im vorhergehenden Zeitintervall und erhielt die Differenzengleichung mit dem Proportionalitätsfraktor . Für heißt Wachstumskonstante, für Zerfallskonstante.
Durch Umformung lässt sich die Differenzengleichung auf die Form bringen, welche Gleichung des exponentiellen Wachstums genannt wird. Dieses Modell ist jedoch wenig realitätsnah, da unbeschränktes Wachstum nicht möglich ist.
Aus diesem Grund entschied man sich dazu, die bisherige Gleichung durch eine Todesrate zu modifizieren. Diese müsste auf jeden Fall proportional zur derzeitigen Populationsgröße sein, unter bestimmten Umständen ist sie aber sogar proportional zum Quadrat der derzeitigen Populationsgröße. Somit erhält man die Gleichung , welche aufgrund der Berücksichtigung einer Todesrate Gleichung des logistischen Wachstums genannt wird.
Die logistische Gleichung kann als Sonderfall der Gleichung des logistischen Wachstums angesehen werden. Hier gilt und sie lautet .
Man sieht anschaulich, dass die Population des nachfolgenden Zeitintervalls sowohl proportional zur derzeitigen Populationsgröße (durch „ “) als auch zum verbleibenden Lebensraum (durch „ “) ist.

4 Fraktale

Die tatsächliche Anzahl an Fraktalen ist unbegrenzt, weshalb nur eine Auswahl von fundamental wichtigen Fraktalen betrachtet wird.


4.1 Julia-Mengen

Bisher wurden nur Funktionen mit reellen Zahlen iteriert, dies kann man jedoch auch mit komplexen Zahlen betreiben. Betrachtet wird nun die Funktion . Hierbei wird, ausgehend von der komplexen Zahl als Startwert, der Orbit von mit den Punkten gebildet. Die Iteration erfolgt also in der -Ebene, d.h. die komplexe Zahl wird stets durch die Zuordnung berechnet und wieder in die selbe Zuordnung eingesetzt. ist zwar auch eine komplexe Zahl, jedoch nur Parameter dieser Funktion. Diese Anmerkung ist wichtig, wenn später noch die Mandelbrot-Menge betrachtet wird (siehe Kapitel 4.2).
Der Frage, für welche komplexen Zahlen der Orbit mit dem Parameter beschränkt ist, d.h. nicht gegen unendlich divergiert, ist Gaston Julia bereits 1918 nachgegangen. Er nannte sein Ergebnis, die Menge dieser komplexen Zahlen , Julia-Mengen. Mathematisch formuliert lautet sie .
Der Begriff Julia-Menge bezeichnet manchmal auch nur den Rand dieser Menge. Unter diesen Umständen wird sie dann als bezeichnet.
Es gibt nur genau zwei Werte von , für die die dazugehörigen Julia-Mengen keine Fraktale sind, nämlich für die Werte und .
Für bildet der Einheitskreis , die Punkte im Inneren mit dem Einheitskreis zusammen sind folglich .
Für gilt: , die Julia-Menge stellt also nur eine Strecke der Länge dar.
Für alle anderen Werte von existieren Julia-Mengen, die fraktaler Dimension sind.


4.1.1 Graphische Darstellung von Julia-Mengen

Julia-Mengen werden also dargestellt, indem man für jede komplexe Zahl überprüft, ob ihr Orbit mit dem gleichen Parameter beschränkt bleibt. Ist dies der Fall, so wird der Punkt schwarz gefärbt, ansonsten bleibt der Punkt weiß.
Hierbei entsteht jedoch das Problem, dass man nur für eine endliche Anzahl an Iterationen überprüfen kann, ob der Orbit beschränkt bleibt. Es kann also gut sein, dass nur wenige Iterationen nach dem gemessenen Bereich der Orbit gegen unendlich divergiert, wodurch der Punkt fälschlicherweise zur Julia-Menge dazugerechnet werden würde. Ein Beispiel für solch eine plötzlich auftretende Divergenz zeigt die Iterationsfolge für und :

...

Bis zur 19ten Iterierten schaut es noch stark danach aus, dass der Orbit beschränkt ist. Ab der 20ten Iterierten aber erkennt man eine geringfügige Erhöhung des Realteils und des Imaginärteils der komplexen Zahl , bis diese schließlich ab der 22ten Iterierten gegen unendlich divergiert.
Dieses Problem lässt sich zwar nicht lösen, man kann aber bestimmen, wann ein Orbit auf jeden Fall gegen unendlich divergiert, und zwar wenn gilt: und .
ist erfüllt, wenn gilt, weshalb die Bedingung von größerer Bedeutung ist. Der Grund hierfür wird in Kapitel 4.1.2 erläutert.
Die Abbildung 4.1.1.1 zeigt die Julia-Menge für . Besonders auffällig ist hier die Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs. Des Weiteren ist sie zusammenhängend und statistisch selbstähnlich. Die kleineren „Säcke“ der Julia-Menge sehen zwar aus wie der große „Sack“ in der Mitte und weisen die selbe charakteristische Ränderform auf, sind jedoch geringfügig verschieden. Mit Ausnahme des großen „Sacks“ in der Mitte ist die Julia-Menge allerdings exakt selbstähnlich.

Abbildung 4.1.1.1: Julia-Menge für

Wählen wir als Parameter das zu konjugierte , so erhalten wir das gleiche Bild, welches an der Realteil-Achse gespiegelt ist (siehe Abbildung 4.1.1.2). Der Grund hierfür wird ebenfalls in Kapitel 4.1.2 erläutert.

Abbildung 4.1.1.2: Julia-Menge für

4.1.2 Fundamentale Dichotomie

Es gibt jedoch auch Julia-Mengen, die nicht mehr zusammenhängend sind, wie die Abbildung 4.1.1.3 zeigt. Zur Visualisierung dieser Julia-Menge wurde eine andere Farbgebungs-Methode verwendet.

Abbildung 4.1.1.3: Julia-Menge für

Tatsächlich aber handelt es sich bei dieser Menge nicht mehr um eine Julia-Menge, auch wenn sie über die gewohnte Zuordnung berechnet und dargestellt wurde. Bei dieser Menge handelt es sich um eine Cantor-Menge, bestehend aus unendlich vielen, separaten Punkten.
Somit lässt sich der mathematische Satz aufstellen: Eine Julia-Menge ist entweder zusammenhängend, oder sie ist eine Cantor-Menge. Eine Julia-Menge ist genau dann zusammenhängend, wenn ihr in der Mandelbrot-Menge liegt.
Dieser Zusammenhang heißt fundamentale Dichotomie.
Das bedeutet anschaulich, dass eine Julia-Menge entweder aus einem oder aus unendlich vielen Teilen besteht. Sollte sie aus unendlich vielen Teilen bestehen, darf sie allerdings genau genommen nicht mehr Julia-Menge, sondern muss Cantor-Menge genannt werden.
Aus diesem Zusammenhang heraus lassen sich auch die bisher ungeklärten Regeln und Folgerungen aus Kapital 4.1.1 klären.
ist deshalb wichtiger als , weil für die zusammenhängenden oder gerade nicht mehr zusammenhängenden Julia-Mengen der Parameter in oder nahe der Mandelbrot-Menge liegt, welche in einem Kreis um den Ursprung mit dem Radius eingeschlossen werden kann. Ist also erfüllt, so ist es auch .
Die Regel, dass sich die Julia-Menge mit dem Parameter und diejenige mit dem hierzu konjugierten Parameter nur durch eine Spiegelung an der Realteil-Achse unterscheiden, lässt sich dadurch erklären, dass die Mandelbrot-Menge symmetrisch zur Realteil-Achse ist. Ist also Element der Mandelbrot-Menge, so ist es auch das hierzu konjugierte .


4.2 Mandelbrot-Menge

Die bereits mehrere Male angesprochene Mandelbrot-Menge (siehe Abbildung 4.2.1), nach Benoît Mandelbrot benannt, errechnet sich über die gleiche Funktion wie die Julia-Mengen, nämlich über .
Der entscheidende Unterschied zu den Julia-Mengen besteht allerdings darin, dass bei der Mandelbrot-Menge die komplexe Zahl als Startwert festgelegt wird und für alle komplexen Zahlen berechnet wird, ob der Orbit von mit dem Parameter beschränkt bleibt. Somit entspricht die Mandelbrot-Menge der Menge aller , für die die Julia-Mengen zusammenhängend sind. Ihre formale Definition lautet: . Der Grund, weshalb festgelegt wird, ist folgender: ist superstabiler Fixpunkt der Funktionsgleichung . Des Weiteren kann es für jedes der komplexen Ebene nur einen stabilen periodischen Zyklus geben. Würde also ein anderer Wert für festgelegt werden, so könnte ein , welches eigentlich zu einem stabilen Zyklus fähig wäre, aus der Mandelbrot-Menge ausgeschlossen werden. Indem man festlegt, erhält man also ein Maximum an zugehörigen .
Darstellungen der Mandelbrot-Menge erfolgen in der Parameter-Ebene, weil hier der Parameter der Funktion verändert wird, Darstellungen von Julia-Mengen in der dynamischen Ebene, weil verändert wird.
Zusätzlich zur bereits erwähnten Symmetrie bezüglich der Realteil-Achse ist die Mandelbrot-Menge stark selbstähnlich, allerdings nicht exakt, da die kleinen Kopien des Ganzen etwas verzerrt sind. Sie ist also streng genommen nur statistisch selbstähnlich. Außerdem ist sie zusammenhängend. Die fraktale Dimension des Randes der Mandelbrot-Menge ist , dessen topologische Dimension ist.
Zur Berechnung der Mandelbrot-Menge setzt man entweder eine obere Grenze für die Iterationszahl oder man iteriert solange, bis einen bestimmten Wert überschritten hat. Wie bereits angesprochen lässt sich die Mandelbrot-Menge in einen Kreis um den Ursprung mit dem Radius einschließen, weshalb üblicherweise festgelegt wird.

Abbildung 4.2.1: Mandelbrot-Menge

4.2.1 Struktur der Mandelbrot-Menge

Die -Werte, die alle nach der gleichen Anzahl an Iterationen aus der Mandelbrot-Menge ausscheiden, bilden eine zusammenhängende Äquipotentialfläche. Die Kurven, die diese Flächen teilen, heißen folglich Äquipotentialkurven (siehe Abbildung 4.2.1.1).

Abbildung 4.2.1.1: Äquipotentialkurven

Für alle , deren Orbits bereits nach einer Iteration den Abstand vom Ursprung besitzen, gilt: . Diese Gleichung entspricht einem Kreis um den Ursprung mit dem Radius . Die nächste Äquipotentialkurve ist der Rand der Menge aller , die nach zwei Iterationen den Radius erreichen: . Hierbei handelt es sich um eine Ellipse. Die nächsten Kurven lauten folglich:

...
Die Bestimmung der Koordinatenform dieser und aller nachfolgenden Kurven ist jedoch zunehmend komplizierter und umfangreicher. Im Grenzfall ist der Rand der Mandelbrot-Menge.
Nun wird das Innere der Mandelbrot-Menge untersucht. Hierzu geht man folgendermaßen vor: Man berechnet zunächst die Menge aller komplexen Zahlen , deren Orbits gegen einen Fixpunkt konvergieren, danach die Menge aller , deren Orbits einen Zyklus der Periode 2 bilden, usw.
Somit kommt jede weitere natürliche Zahl ebenfalls als Periode eines Zyklusses vor, und zwar in der jeweils nächstkleineren „Beule“ der Mandelbrot-Menge, bis die Orbits am Rand der Mandelbrot-Menge schließlich chaotisch werden.
Aus diesen Beobachtungen lassen sich zwei wichtige Eigenschaften der Mandelbrot-Menge herausarbeiten:
· Die Punkte innerhalb einer „Beule“ gehören Zyklen mit der selben Periode an.
· Die Periode des Zyklusses der Punkte innerhalb einer „Beule“ ist gleich der Anzahl an „Strahlen“, die von ihr ausgehen. Hierbei wird der „Hauptstrahl“ mitgezählt. Die Abbildung 4.2.1.2 zeigt eine „Beule“ der Mandelbrot-Menge, deren Punkte allesamt Zyklen der Periode 7 angehören.

Abbildung 4.2.1.2

Die Periode des Zyklusses der Punkte einer „Beule“ lässt sich auch berechnen, indem man die Julia-Menge mit einem beliebigen Punkt im Inneren der „Beule“ als Parameter berechnet und die Anzahl der „Arme“ der Julia-Menge zählt. Die Abbildung 4.2.1.3 zeigt die Julia-Menge zu einem Punkt innerhalb der „Beule“ aus der Abbildung 4.2.1.2 als Parameter .

Abbildung 4.2.1.3


4.2.2 und die Mandelbrot-Menge

Eine weitere, faszinierende Eigenschaft der Mandelbrot-Menge ist ihr Zusammenhang mit der Kreiszahl , welcher nun dargestellt wird.
Der Berührpunkt zwischen „Kopf“ und „Rumpf“ der Mandelbrot-Menge liegt bei . An diesem Punkt ist die Mandelbrot-Menge also unendlich „dünn“, d.h. dass alle anderen Orbits mit den Punkten der Form als Parameter gegen unendlich divergieren und somit diese aus der Mandelbrot-Menge ausgeschlossen werden. Nun kann man bestimmen, nach wie vielen Iterationen das der Fall ist. Die Abbildung 4.2.2.1 zeigt die dazugehörige Tabelle.

0 3
1 33
2 315
3 3143
4 31417
5 314160
6 3141593
7 31415928
Abbildung 4.2.2.1

Was gut zu sehen ist, ist, dass für genügend großes gilt.

4.2.3 Verallgemeinerung der Mandelbrot-Menge

Zur Verallgemeinerung der Mandelbrot-Menge betrachtet man die Funktion . Berechnet man nun für unterschiedliche natürliche Zahlen mit die Mandelbrot-Mengen, so fällt auf, dass sich die Anzahl der „Rümpfe“ der Mandelbrot-Mengen erhöht, und zwar ist sie gleich . Die Abbildungen 4.2.3.1 und 4.2.3.2 zeigen Mandelbrot-Mengen für und .

Abbildung 4.2.3.1: Mandelbrot-Menge für


Abbildung 4.2.3.2: Mandelbrot-Menge für


4.3 Sierpinski-Dreieck

Bereits 1916 legte der polnische Mathematiker Waclaw Sierpinski die Konstruktion eines Gebildes vor, welches auf den ersten Blick hin wie ein zerstückeltes gleichseitiges Dreieck aussieht. Diese Entdeckung wurde ein Jahr später unter dem Namen Sierpinski-Dreieck (siehe Abbildung 4.3.1) veröffentlicht.
Tatsächlich jedoch gab es bereits viel früher Vorläufer dieser einzigartigen Struktur, wie ein Kupferstich aus dem 18. Jahrhundert zeigt, welcher die Konstruktion eines temporären Schutzwalls im Hafen von Dieppe darstellt (siehe Abbildung 4.3.2).

Abbildung 4.3.1: Sierpinski-Dreieck


Abbildung 4.3.2: Konstruktion eines temporären Schutzwalls im Hafen von Dieppe

Die geometrische Konstruktion des Sierpinski-Dreiecks erfolgt für gewöhnlich folgendermaßen: Man wählt ein gleichseitiges Dreieck beliebiger Größe und zeichnet die Strecken zwischen den drei Seitenmittelpunkten ein. Somit hat man das Dreieck in vier kleinere, ähnliche Dreiecke aufgeteilt, von welchen das mittlere Dreieck entfernt wird. Nun wiederholt man den gleichen Schritt, jedoch an den drei verbleibenden gleichseitigen Dreiecken, usw.
Für den Grenzfall entsteht auf diese Weise das Sierpinski-Dreieck.
Besonders interessant ist die Berechnung des Umfangs und der Oberfläche des Sierpinski-Dreiecks.
Nach der ersten Iteration entstehen aus dem Ausgangsdreieck drei ähnliche Dreiecke mit der Seitenlänge . Der Umfang jedes dieser Dreiecke ist , zusammenaddiert ist also der Umfang . Nach der zweiten Iteration entstehen aus jedem der drei ähnlichen Dreiecke wieder jeweils drei ähnliche Dreiecke mit der Seitenlänge , deren Umfang jeweils ist. Somit erhält man den Umfang . Bereits nach der Betrachtung dieser zwei Iterationen ist die Verallgemeinerung leicht zu erkennen, und zwar gilt: . Berechnet man nun hiervon den Grenzwert, so erhält man . Der Umfang des Sierpinski-Dreiecks ist also unendlich lang.
Um die Oberfläche zu berechnen, geht man ähnlich vor. Nach der ersten Iteration wird das mittlere der vier durch Aufteilung des Ausgangsdreiecks erhaltenen kleineren, ähnlichen Dreiecken entfernt, so dass gilt. Nach der zweiten Iteration wird aus jedem der drei ähnlichen Dreiecke wieder eine Viertel der Fläche entfernt. Die Fläche A2 berechnet sich somit folgendermaßen: . Für die n-te Iteration gilt , deren Grenzwert ist. Das Sierpinski-Dreieck besitzt also eine unendlich kleine Oberfläche.
Aus diesen zwei interessanten Eigenschaften lässt sich auch die Korrektheit des Zahlenwertes der fraktalen Dimension des Sierpinski-Dreiecks überprüfen: Geometrische Objekte mit endlichem Rand besitzen die fraktale Dimension , geometrische Objekte, die eine bestimmte Fläche mit einschließen, die fraktale Dimension . Da jedoch für das Sierpinski-Dreieck keine dieser beiden Eigenschaften zutrifft, muss es eine fraktale Dimension zwischen und besitzen.
Diese lässt sich dank der exakten Selbstähnlichkeit des Sierpinski-Dreiecks über die Ähnlichkeitsdimension berechnen, für welche gilt.

5 Bezüge zur Natur

Benoît Mandelbrot wird oft als der Vater der fraktalen Geometrie angesehen. Tatsächlich jedoch gab es bereits vor ihm berühmte Mathematiker wie Georg Cantor, Helge von Koch, David Hilbert oder Waclaw Sierpinski, der im vorangehenden Kapitel bereits erwähnt wurde, die sich mit Fraktalen beschäftigten. Auch wenn viele der von ihnen beschriebenen Fraktale nur bei dem Versuch entstanden, den mathematischen Gehalt und die Grenzen von grundlegenden Begriffen wie Stetigkeit oder Krümmung vollständig zu erforschen, wurden sie, Übertriebener- oder sogar Fälschlicherweise, als eine Art „mathematische Monster“ angesehen, die die Formanormalie demonstrierten. Erst Benoît Mandelbrot war es, der zeigte, dass fraktale Objekte in der Tat oft mehr Gemeinsamkeiten mit natürlichen Formen und Strukturen besitzen als die bis dahin bekannten geometrischen Objekte, daher der Titel seines 1982 erschienenen Buches „The Fractal Geometry of Nature“.
Benoît Mandelbrot war also weniger der Entdecker der fraktalen Geometrie als derjenige, der darstellte, dass das scheinbar Außergewöhnliche und Chaotische eher der Regel der Natur folgt als die bisherigen geometrischen Objekte.
Ein eindrucksvolles Beispiel hierfür ist die grüne Blumenkohlzüchtung Romanesco, welche in Abbildung 5.1 dargestellt ist.


Abbildung 5.1: Romanesco

Der Romanesco ist zwar kein Fraktal an sich, weist aber sehr gut ein Grundprinzip auf, welches bei fast jedem Fraktal vorhanden ist: Selbstähnlichkeit. Da er eine natürliche Form besitzt, handelt es sich zwar nicht um exakte Selbstähnlichkeit, aber auf jeden Fall liegt statistische Selbstähnlichkeit vor. Der Romanesco-Kopf ist nicht exakt seinen sogenannten Röschen gleich, die eine zylindrische Form aufweisen. Ansonsten jedoch lässt sich die Selbstähnlichkeit leicht erkennen: Jedes Röschen ist ringsherum überzogen von kleineren Röschen, die zur Spitze hin kleiner werden. Betrachtet man nun wiederum eines dieser Röschen, so lässt sich die gleiche Struktur entdecken wie auf dem nächst größeren Röschen, wie auch näherungsweise beim Romanesco-Kopf selbst. Dies lässt sich ungefähr drei- bis viermal wiederholen, danach sind die Strukturen für eine weitere Skalierung zu klein.
Auch das in Kapitel 2.2 erwähnte Farnblatt zeigt auf ähnliche Weise Selbstähnlichkeit.
Es gibt jedoch auch natürliche Gebilde, die tatsächlich fraktale Strukturen aufweisen, wie beispielsweise die menschlichen Lunge. Interessant hierbei, vor allem für die Medizin, ist ihre Luftaustauschfläche, an der der für den Menschen lebensnotwendige Gasaustausch stattfindet.
Um diese zu messen, geht man ähnlich vor wie bei der Berechnung der fraktalen Dimension: Man bedeckt das Objekt mit beispielsweise Quadratscheiben der Kantenlänge und zählt anschließend die zur vollständigen Bedeckung benötigte Anzahl . Hierbei ist anzumerken, dass jeweils die möglichst kleinste Anzahl als definiert wird. Ihre Gesamtfläche lässt sich nun folgendermaßen berechnen: .
E.R. Weibel führte zunächst Experimente an Tieren, später jedoch auch am Menschen durch. Indem er und festsetzte, erhielt er in einem - -Koordinatensystem angenähert die Gerade mit . Hierbei handelt es sich um eine streng monoton abnehmende Funktion.
Die Luftaustauschfläche lässt sich umso genauer berechnen, je kleiner ist. Aus diesem Zusammenhang kann relativ leicht durch Überlegung der Grenzwert der Funktion ermittelt werden, da somit gilt: . Die Luftaustauschfläche der Lunge ist also unendlich groß. Da es sich aber dennoch um ein natürliches Gebilde handelt, ist diese Schlussfolgerung nur näherungsweise richtig. Die Luftaustauschfläche der Lunge beträgt in Wirklichkeit ca. 140m2.
Aus der Folgerung, dass die Luftaustauschfläche der Lunge unendlich groß ist, lässt sich schließen, dass ihre fraktale Dimension größer als ist, da sie sonst einen bestimmten Zahlenwert besitzen müsste. Wäre dies der Fall, so würde sich mit unterschiedlichem und an der Fläche überhaupt nichts ändern, was zur Folge hätte, dass die Funktion die Steigung besitzen würde. Da jedoch gilt und die fraktale Dimension größer als sein muss, lässt sie sich folgendermaßen berechnen: .
Die Bestimmung der fraktalen Dimension eines natürlichen Gebildes ist aber oft auch weitaus mehr als eine Art „Spielerei“ der Mathematiker. So ist sie z.B. bei erkrankten Tumor-Zellen mittlerweile eine Art „Zusatzuntersuchung“ in der Krebsdiagnose geworden.
Früher musste man beim Auftreten eines Tumors zunächst eine Gewebeprobe entnehmen, welche anschließend mit raffinierten chemischen Färbungstechniken und anderen physikalischen Methoden untersucht wurde. Heute entnimmt man zusätzlich noch aus dieser Gewebeprobe eine einzelne Zelle und bestimmt deren fraktale Dimension, anhand welcher zuverlässig entschieden werden kann, ob es sich um einen bösartigen oder um einen gutartigen Tumor handelt.
Ein letztes natürlich auftretendes Phänomen natürlicher Gebilde und Vorgänge ist das bereits in Kapitel 2.4 beschriebene chaotische Verhalten oder kurz deterministisches Chaos. Dieses lässt sich beispielsweise bei der Schwingung von Doppelpendeln in der Physik, beim Populationsverhalten mit teilweise recht chaotischen Schwankungen oder sogar bei einem tropfenden Wasserhahn erkennen.

6 Schlusswort

Wie bereits in Kapitel 4 angemerkt wurde, gibt es eine unendlich große Anzahl an unterschiedlichsten Fraktalen, von denen viele miteinander verknüpft sind. Diese Verknüpfungen reichen teilweise bis in die Natur und somit in unsere tägliche Umgebung hinein: Bäume, Wassertropfen, oder sogar unser eigener Körper sind voll von fraktalen Strukturen.
Nach und nach gewinnt der Bereich der fraktalen Geometrie immer mehr Einfluss in unsere heutige Welt. So findet sie beispielsweise Verwendung in den Naturwissenschaften wie Physik, Chemie, Biologie, und natürlich der Mathematik. Aber auch die Spezialisten aus der Medizin, der Astrologie oder der Kriegsforschung haben erkannt, dass die lange als „unförmig“ bezeichneten Fraktale weitaus mehr als ein Grenzgebiet der Geometrie sind, und für sie durchaus oder sogar besser als für die klassische Geometrie Verwendung gefunden werden kann.
Und selbst im kreativen Bereich hat die fraktale Geometrie Einzug gehalten mit der eigenen, gleichnamigen Kunstepoche „fractals“. Die aufwendig erstellten, teilweise farbigen Fraktale faszinierten die Künstler sowohl durch ihre Komplexität wie auch durch ihren hohen ästhetischen Reiz.
Trotz dieser Erkenntnisse ist bisher nur ein Bruchteil des Nutzens entdeckt worden, den die Fraktale für den Menschen beinhalten können, weshalb weiterführende Untersuchungen unabdingbar sind.



Literaturverzeichnis

1 Bücher
1.1 Benoît Mandelbrot: „Die fraktale Geometrie der Natur“, Basel, Birkhäuser Verlag, 1987
1.2 Heinz-Otto Peitgen: „Bausteine des Chaos – Fraktale“, o.O., Springer-Verlag, 1992
1.3 Herbert Zeitler: „Fraktale Geometrie“, o.O., Vieweg Verlagsgemeinschaft, 2000

2 Fachzeitschriften
2.1 Christoph Pöppe: „Würmer, Fraktale und die Rädchen des Kilometerzählers“, in „Spektrum der Wissenschaft“: Dossier 2/2004, 2004

3 Elektronische Medien
3.1 Thomas Peters: „Fraktale“, Internetseite, http://www.mathe-seiten.de/fraktale.pdf, 12.09.2004, aufgerufen am 07.05.2005
3.2 Ohne Autor: „http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Fraktal/Pics/farnzerl.gif“, Internetseite, http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Fraktal/Pics/farnzerl.gif, ohne Erscheinungsdatum, aufgerufen am 07.05.2005
3.3 Jürgen Kummer: „Die Juliamengen und die Mandelbrotmenge“, Internetseite, http://jumk.de/facharbeit/, 01.02.1993, aufgerufen am 07.05.2005
3.4 Ohne Autor: „http://www.gymnasium-oberhaching.de/website/klassen/fab/view.php?fn=2002_M_Ulsamer.pdf“, Internetseite, http://www.gymnasium-oberhaching.de/website/klassen/fab/view.php?fn=2002_M_Ulsamer.pdf, ohne Erscheinungsdatum, aufgerufen am 07.05.2005
3.5 Ohne Autor: „http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/thumb/e/ea/Romanesco.jpg/396px-Romanesco.jpg“, Internetseite, http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/thumb/e/ea/Romanesco.jpg/396px-Romanesco.jpg, ohne Erscheinungsdatum, aufgerufen am 07.05.2005
3.6 René Rondot: „Chaos und Fraktale“, Internetseite, http://rene.rondot.de/facharbeit/facharbeit-Title.html, ohne Erscheinungsdatum, aufgerufen am 07.05.2005


Mir ist gerade aufgefallen, dass die Links größtenteils nicht mehr funktionieren, was ich wirklich bedauere, aber falls ernsthaftes Interesse an dem Bildmaterial besteht, kann ich entweder die Inhalt auch reinstellen oder notfalls die Bilder zuschicken, wäre auch kein Problem. Zumindest in der Zeit meiner Facharbeit funktionierten die Links noch alle.
Und auch die Formeln wurden leider nicht mit integriert, aber hier gilt das Gleiche wie bei den Bildern, wobei die meisten Formeln für "Kenner der Materie" bereits bekannt sein sollten.
Wie gesagt, ich hab's einfach mal reingestellt, weil es ein wirklich interessantes Thema ist, welches ich euch nicht vorenthalten will und welches nicht nur für "Mathe-Checker" interessant ist, gerade deshalb, weil es den normalen Rahmen der Mathematik eindeutig sprengt...