Wahrscheinlichkeitsrechnung zum Thema Lotto

Es ist zwar nicht direkt eine Hausaufgabe, aber rein inhaltlich passt es denke ich dennoch hier rein.

Ich versuche rechnerisch die Wahrscheinlichkeit für die Vorhersage einer Lottozahl zu bestimmen. Dabei meine ich nicht die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser, das habe ich nämlich schon verstanden:

49 x 48 x 47 x 46 x 45 x 44 : 6! = 13.983.816 wäre jetzt für einen Sechser.

Meine Frage ist jetzt aber, ich steh irgenwie auf der Leitung, wie man berechnet, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass unter den sechs gezogenen Zahlen zB. eine 23 vorkommt. An welcher Position ist egal. Die Wahrscheinlichkeit, dass an der ersten Position die 23 steht ist ja noch einfach ->1:49. Aber ich habe irgenwie eine Blockade. Könnt ihr mir erklären, wie man die Wahrscheinlichkeit bestimmt, wenn nach der ersten Zahl noch 5 weitere zieht?

Habe ich es richtig verstanden, dass du es einfach so meinst, dass nach dem normalen Lotto-Prinzip sechs Zahlen gezogen werden und dass von den 6 Zahlen eine Zahl die 23 sein soll? Wenn ja, dann müsste die Wahrscheinlichkeit ja einfach so zu berechnen sein, dass es die Möglichkeiten gibt, beim 1. ziehen eine 23 zu bekommen, beim ersten ziehen eine andere Zahl und dann eine 23, bei den ersten beiden ziehen keine 23 und dann eine, und so weiter.

Also: (1/49)*(47/48)*(46/47)*(45/46)*(44/45)*(43/44) und so müsstest du dir ein Baumdiagramm zeichnen, was hier am PC schlecht funktioniert, und dann jeden Pfad ausrechnen und das addieren, damit du deine Wahrscheinlichkeit erhälst. Wenn du willst, kann ich es nacher kurz ausprobieren, aber ich will erst einmal duschen gehen.

Also dein Ereignis ist, dass unter 6 gezogenen Zahlen einmal die 23 ist. Die anderen Kugeln sind egal?

Demnach hast du für den ersten Fall eine Wahrscheinlichkeit von 1/49*48/48*47/47*1*1*1 Nachdem du die Kugel gezogen hast, ist es egal, welche Kugeln Folgen.

Für den nächsten Pfad ergibt sich 48/49*1/48*1*1*1*1, da beim ersten Ziehen die Zahl nicht gezogen werden darf, also 48/49, und beim zweiten Ziehen 1/48, da aus den 48 verbleibenden Kugeln die 23 gewählt werden muss.

Auf diese Art und Weise kannst du die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Pfade bestimmen und diese anschließend addieren.

Ich frage mich nur gerade, ob das ganze nicht doch noch leichter geht.

Demnach würde für jede Ebene die selbe Wahrscheinlichkeit bestehen, oder habe ich mich da wieder verrechnet? Ich komme so auf das Ergebnis 6/49, was auf den ersten Blick auch richtig scheint. So hatte ich es auch zuerst gerechnet, da ja sechs Zahlen gezogen werden, und somit die Chance sechsmal höhe ist als1/49.

Auf den zweiten Blick denkt man aber, dass die Wahrscheinlichkeit ja höher sein muss, da mit jeder Ebene weniger andere Zahlen zur Verfügung stehen. Jedenfalls verwirrt es mich, dass trotzdem nach der Rechnung, die ich jetzt sogar komplett verstanden habe, immer die selbe Wahrscheinlichkeit auftritt.
1/49 = 48/49 x 1/48, das kürzt sich doch dann weg oder?

Auf den dritten Blick aber muss man bedenken, dass es ja keine 100% Wahrscheinlichkeit gibt, dass die erste Zahl nicht die richtige ist. In meinem Beispiel die 23. Daher könnte sich das ausgleichen, sprich, es ist genauso Wahrscheinlich die 23 beim ersten mal zu ziehen, wie erst eine andere und dann die 23, da man die erste Zahl ja auch erstmal falsch ziehen muss, Diesen Faktor hatte ich in meiner Rechnung total übersehen. Und ich konnte mein Ergebnis nicht nachvollziehen. So kommt man aber wieder auf das Ergebnis, welche 6/49 beträgt.

Mein Problem war, dass ich zu sehr an dem zweiten Blick hing, und ich übersehen hatte, dass es sich ausgleicht. Kann mir das jemand bestätigen, dass das die Wahrscheinlichkeit beim Lotto eine Zahl vorherzusagen 6/49 beträgt?

Ich werde dir das jetzt nochmal erklären:

Problem

Zu finden ist die Wahrscheinlichkeit beim deutschen Lotto (6 aus 49) eine Zahl vorherzusagen, wobei der Platz der Zahl egal ist.

Formalisierung des Problems

Im Urnenmodell der Wahrscheinlichkeitsberechnung lässt sich das als Ziehung von k Elementen aus n Elementen mit irrelevanter Reihenfolge und ohne Zurücklegen interpretieren.

Lösung

Es gibt also 6 Versuche 1 Schwarze Kugel auf 49,48,47 etc. zu ziehen.

1/49+1/48+1/47+1/46+1/45+1/44 = 0.129206718 also ungleich 6/49