Wie ermittle ich das Verhalten im Unendlichen

Ich hätte gerne so einfach wie möglich erklärt, wie man bei einer Kurvendiskussion das Verhalten im Unendlichen bestimmt. Auf was muss ich achten, was ist ausschlaggebend? Bisher wirkt es immer so auf mich, als müsste ich nur das Gegenteil hinschreiben, von dem was bereits in der Funktion zu lesen ist. Also wenn die negativ ist, schreibe ich einfach dieses lim mit dem Pfeil hin und auf der anderen Seite das Gegenteil, nämlich positiv, aber das kann es jawohl nicht sein. Mag mir das jemand erkären? Was da wirklich zu tun ist?

Es kommt auf die Funktion an. Jede Funktion ist anders zu behandeln. Ganzrationale Funktionen richten sich nach dem Vorzeichen des höchsten Exponenten. Wenn du es dir logisch nicht erschließen kannst, musst du nur eine sehr große oder sehr kleine Zahl einsetzen. Für gebrochen rationale Funktionen gibt es Regeln, die die Exponenten der Zähler und Nenner vergleicht. Der Grenzwert ist dann die waagerechte Asymptote bzw. + oder - Unendlich.

Andere Funktionen haben ihre speziellen Eigenschaften. Du musst halt wissen, wie die e-Funktion, der Logarithmus, die trigonometrischen Funktionen usw. aussehen und betrachtest die Terme stückweise. Wenn beispielsweise Null durch Unendlich oder Null durch Null oder ähnliches herauskommt, brauchst du den l'Hopital.

Es gibt aber keine allgemeingültige Regel. Es gibt ein paar Besonderheiten, dass die e-Funktion stärkeren Einfluss hat als ganzrationale Funktionen, bzw. der Logarithmus weniger wiegt. Ich würde mir diesbezüglich das Schulbuch noch einmal anschauen. Jede Funktionsart hat ihre Eigenheiten. Wenn du dir ganz unsicher bist, würde ich mit dem Taschenrechner "raten", also einfach 10000 oder so etwas einsetzen. Darf man natürlich nicht sagen, dass man es so gemacht hat. Denn auch wenn 1000000000, könnte mathematisch gesehen der Grenzwert 1000000001 sein. Kommt in der Schulmathematik aber nicht vor. In einem solchen Fall kann man guten Gewissen Unendlich angeben.

Du bestimmst zunächst die Nullstellen. Dazu setzt du deine Funktion einfach gleich Null und berechnest den Wert der Variable. Als nächstes berechnest du markante Stellen wie Maxima und Minima, sowie Wendepunkte. Nun hast du bereits eine Idee über den Verlauf der Kurve. Was noch fehlt sind "die Enden" der Kurve, also welchen Wert sie im Unendlichen, bzw. negativ Unendlichen annimmt.

Hierzu machst du eine Limes-Betrachtung. Ich gebe dir an dieser Stelle mal ein einfaches Beispiel. Sei f(x)=x die Funktion und du willst ihren Wert im Unendlichen. Dann ist es offensichtlich, dass f(unendlich)=unendlich ist. Wenn die Funktionen komplexer werden, zerlegst du sie und schaust dir die einzelnen Teile an. Hier musst du nur noch entscheiden, welcher Teil schneller wächst und den Rest somit vernachlässigbar macht.

Ein Beispiel dazu wäre f(x)=x³/x. Der Term im Zähler hat die Potenz drei, der Term im Nenner hingegen eins. Der Zähler wächst also viel schneller. Im Unendlichen wäre diese Funktion somit unendlich. Natürlich kannst du in diesem Beispiel auch einfach kürzen und dann die Lösung für x² bestimmen. Allerdings ist kürzen nicht immer möglich.

Wenn dein Zähler und Nenner lediglich aus Summen besteht, kannst du auch einfach mit dem Kehrwert der höchsten Potenz erweitern und dann wieder unendlich einsetzten. Der Vorteil hierbei ist, dass alle übrigen Summanden sich nun zu Null ergeben, denn eine Konstante geteilt durch Unendlich ist Null.

Hierzu noch ein Beispiel zur Verdeutlichung: Sei die Funktion f(x)=(x³+x²+x+1)/(x²+5). Mit 1/x³ erweitert, ergibt das f(x)=(1+1/x+1/x³+1/x³)/(1/x+5/x³). Setzt du dort nun Unendlich für x ein, dann ergibt sich alles mit x im Nenner zu Null und 1/0 bleibt übrig, was Unendlich entspricht.