Aufgabe Mathe

Hallo,

mir wurde schon letztes Mal professionell geholfen. Nun habe ich wieder eine kleine Frage, es handelt sich wieder um Mathe

Man hat wieder den Punkt P (-0,5/f(0,5). Bitte beim y-Wert auf das "f" achten!

Nun ist hier die Funktion f(x)=(1/4)*X^3
Für die Einviertel, welche ich in einem Bruch geschrieben habe kann man natürlich auch eine Zahl einstetzen. Aber vielleich ist es mit Brüchen einfacher. Bitte achtet drauf, das es nicht "im Quadrat" ist, sonder Hoch 3.

Nun sollte man zum obrigen genannten Punkt P den Differenzquotienten ansetzten.

Ich kann mal den Anfang machen:
1/4 (-0,5+h)^3 - 1/4 (-0,5)^3
Das gesamte wird durch h geteilt, ist aber für den Anfang nicht wichtig.

Durch das Hoch 3 habe ich Probleme, denn die binomische Formel funktioniert nicht. Kann mir jemand die komplette Lösung, natürlich mit Lösungsweg aufschreiben und beschreiben?

Vielen lieben Dank

Hallo!

Kann es sein, dass du dich bei der Angabe des Punktes vertippt hast? Es soll bestimmt heißen P(-0,5 | f(-0,5)), oder?

Zum Ausmultiplizieren von (-1/2+h)³ brauchst du auch nicht unbedingt die binomischen Formeln anzuwenden, wenn du damit nicht klarkommst. Kannst es auch immer einfach händisch ausmultiplizieren (so nach der Regel "jedes mit jedem" ).

Nun gut. Sei also die Funktion f=f(x) gegeben durch f(x)=(1/4)*x³.
Wenn du einen Differenzenquotienten berechnen sollst, nimmst du die übliche Formel D(f)=(f(x+h)-f(x))/h und setzt einfach ein. Genau das hattest du ja auch schon angefangen. Ausführlich liefert das hier:

D(f)=(f(x+h)-f(x))/h
=((1/4)(-1/2+h)³-(1/4)(-1/2)³)/h
=((-1/2+h)(-1/2+h)²+1/8 )/(4h)
=((-1/2+h)(1/4-h+h²)+1/8 )/(4h)
=(-1/8+(1/2)h-(1/2)h²+(1/4)h-h²+h³+1/8 )/(4h)
=(h³-(3/2)h²+(3/4)h)/(4h)

Statt der 4 unter dem Bruchstrich kannst du natürlich auch die (1/4) im Zähler mitschleppen, das war mir aber zu viel Schreibarbeit mit den ganzen Klammern hier.

Die Korrektheit des Differenzenquotienten oben lässt sich ja mal schnell mit dem Differenzialquotienten überprüfen. Für h gegen 0 geht der Differenzenquotient (h²-(3/2)h+3/4)/4 nämlich gegen (3/4)/4=3/16 und das ist auch das gleiche Ergebnis, was die übliche Ableitungsregel für Polynome liefert: f'(x)=(3/4)x², also f'(-1/2)=3/16.

Ich hoffe, ich konnte dir ein wenig weiterhelfen. Wenn du noch weitere Fragen hast, dann scheue dich nicht, sie zu stellen.

Liebe Grüße!
MacDevil