Matheaufgabe, bitte helft mir

Hallo Leute,

muss bis zum 08. Oktober folgende Aufgabe lösen, ich bin sicher ihr könnt mir helfen, wenn möglich auch mit Rechenweg!

Vielen Dank schonmal, hier die Aufgabe:

Zwei Fähren fahren ständig mit verschiedenen, aber konstanten Geschwindigkeiten über einen Fluss hin und her, wobei sie ohne Zeitverlust an den Ufern wenden. Sie legen morgens gleichzeitig von den beiden gegenüberliegenden Seiten des Flusses ab und treffen einander zum ersten Mal 800 Meter vom südlichen Ufer entfernt. Beide Fähren setzen ihren Weg fort, wenden und treffen dann in 400 Meter Entfernung vom nördlichen Ufer das nächste Mal aufeinander!

Daraus ergibt sich folgende Frage:

WIE BREIT IST DER FLUSS?

Hat denk ich mal irgendwas mit x und y usw. zu tun, hab auch schon alles mögliche probiert, komme aber nicht weiter!

Skizze, leider ohne Pfeile! Aber A schafft es beim 1. Treffen bis zur Linie und B halt auch, dann das zweite einfach so weiterführen!
1. Treffen 2. Treffen
_____________________B________________________B__________

400m
--------------------------------------------------



-----------------------------------------------
800m

__________A_____________________________A_______________

Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Zunächst einmal muss man sich bewusst sein, dass folgendes gilt:

v = s / t

demzufolge gilt auch

t = s / v (I)

Nun sind zwei Zeitpunkte vorgegeben zum einen t1, das Trefeen der beiden Fähren. Hier ist festzustellen, dass die eine Fähre (F1) genau die 800m vom Ufer geschafft s(F1)=800 hat und die andere Fähre hat den restlichen Weg der Gesamten Flussbreite (dies bezeichne ich als G) geschafft s(F2)=G-800. Setzt man nun diesen Zusammenhang in Gleichung (I) ein ergibt sich folgendes für Fähre 1

t(F1) = s(F1)/ v(F1)
t(F1) = 800 / v(F1)

für Fähre 2 folgt dann ganz analog

t(F2) = s(F2)/ v(F2)

t(F2) = (G-800) / v(F2)

Da die beiden Fähren zur gleichen Zeit losgefahren sind haben beide sich nach der gleichen Zeit t getroffen und man kann sagen t(F1) = t(F2). Damit ergibt sich folgende Gleichung

(G-800) / v(F2) = 800 / v(F1) (II)

Genau die Gleichen Überlegungen kann man für das zweite Treffen der Fähren anstellen. Fähre 1 hätte dann einmal den Fluss überquert und noch 400m vom Ufer geschafft. Für Fähre 2 gilt dann ebenfalls eine Überquerung und eine Überquerung minus die 400m.

t(F1) = (G+400) / v(F1)
t(F2) = (G+G-400) / v(F2)

Nach den gleich setzen der Zeiten erhält man:

(G+400m) / v(F1) = (G+G-400) / v(F2) (III)

Jetzt hat man 2 Gleichungen ( II und III) und 3 Unbekannte(G, v(F1) und v(F2) ). ab diesem Zeitpunkt ist es nur noch umstellen dun zusammenführen von Gleichungen. Stellt man nun Gleichung II nach v(F2) um erhält man.

v(F2) = v(F1) * (G-800) / 800

Anhand dieser Gleichung kann man nun v(F2) in Gleichung III ersetzen und kommt zu folgender Gleichung:

(G+400) / v(F1) = (G+G-400) / ( v(F1) * (G-800) / 800 )

Nach umstellen kommt man zu

(G+400) / v(F1) = ( 1600G-3200000 ) / ( v(F1) * (G-800) )

Jetzt kann man glücklicherweise v(F1) heruaskürzen, da es auf beiden Seiten unten im Bruch steht und die Gleichung etwas umstellen

(G+400) * (G-800) = 1600G-320000

Weiter durch ausmultiplizieren zu

G^2-400G-320000 = 1600G-320000

Weiter umstellen um Null auf einer Seite zu erhalten

G^2-2000G = 0

Und damit

G=2000

Das ist dann auch das Ergebnis der Fluss ist 2000m breit.