Matheaufgabe mit Extremwerten

Hallo zusammen,

ich sitz gerade an einer Matheaufgabe und komme nicht wirklich weiter
In der Aufgabe werden Extremwertrechnungen behandelt.

Also ein Schafszüchter möchte für seine lieben Schafe eine rechteckige Weidefläche einzäunen. Die Weidefläche ist direkt an einen Fluss gegrenzt, dass heißt er braucht auf dieser Seite keinen Draht spannen. Insgesamt hat er 250 Meter eines elektrischen Weidezauns zur Verfügung, um die restlichen drei Seiten einzuzäunen. Wie muss der Schafszüchter die Maße wählen, damit seine Tiere eine möglichst große Weidefläche zur Verfügung haben?

Das die 250 Meter Zaun dem Umfang entsprechen müssen ist mir klar. Ich setze somit:
U=2a+b
250=2a+b
b=250-2a (entspricht meiner Nebenbedingung)

Meine Zielfunktion muss über den Flächeninhalt A führen.
A=a*b bzw. A=a*(250-2a)
A=250a-2a²
.. und an dieser Stelle komme ich nicht mehr weiter
Weiß jemand wie ich an dieser Stelle weiterrechnen muss?

Bin für jede Hilfe dankbar.
Viele Grüße
Steff

An deiner Stelle würde ich den Zaun verkaufen und mir dafür 2 bis 3 Schäferhunde kaufen, die dann aufpassen, dass die Viecher nicht abhauen

Das wird deinem Lehrer eventuell nicht so gefallen und deswegen hier mein Lösungsweg:
250 = a+b+c+d
d fällt weg da Ufer
a und c sind gleich lang da es ein Rechteck sein muss
250=2a+b

250/2 = 125
2a= 125 |:2
a = 62,5

b= 125

Somit kommst du auf einen Flächeninhalt von 7812,5m² (a*b)

Mit probieren kommt man auch auf diesen Wert

Grüße

Da ich so gut wie alles in Mathe über dieses Thema vergessen habe, kann ich dir nur begrenzt weiterhelfen. Aber ich bin mir ziemlich sicher, dass die den Extrempunkt deiner Funktion bestimmen musst, um die Maße, sodass die Weidefläche möglichst groß wird.

Das bedeutet, dass du die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen musst. Also die erste Ableitung null setzen.
LG Jenna

Vielen Dank erstmal, aber dafür würde ich in der Arbeit wohl Null Punkte bekommen. Man muss per Ableitungen auf die Lösung kommen.
Du schreibst oben:
250=2a+b
250/2 = 125

Fällt hier nicht das b unter den Tisch? Denn wenn ich 250=2a+b durch 2 teile, bekomme ich doch 125=a+b/2?

Grüße

Hi

also hier mal mein Lösungsvorschlag.

Zum Einen hast du ja die Formel für die Fläche
A(a,b)=a*b
und die Nebenbedingung
U=2*a+b=250
diese nach b aufgelöst ergibt
b=250-2*a
diese setzen wir in die Hauptformel ein...daraus folgt
A(a)=a*(250-2*a)
A(a)=-2*a^2+250*a
somit ist die Formel nur noch von einer Variablen abhängig und man kann nach a differenzieren
A'(a)=-4*a+250
Da wir die Extremstelle suchen setzten wir diese 0
-4*a+250=0
a=250/4=62,5
Durch einsetzen in die Nebenbedingung
U=2*a+b=250
b= 250-2*62,5=125
somit hat man auch b berechnet und somit auch die Maximale Fläche

A=a*b=125m*62,5m=7812,5 m²

Somit ist auch die Lösung von scrabs1337 bestätigt

Hoffe ich konnte dir helfen
Lieber Gruß