Mathematik: "Keine Zahl ist durch 0 teilbar" ?!

Jeder hat spätestens dann von der Regel, dass keine Zahl durch 0 dividiert werden kann gehört, wenn der Taschenrechner zum ersten mal "Divided by 0 Error "oder Ähnliches angezeigt hat. Hier möchte ich euch meine Thesen vorstellen und hoffe auf rege Beteiligung eurerseits.

Was gegen die obengenannte Aussage spricht: 1) Ich habe 1 (eine)Torte und Teile sie durch 0 (nichts). Somit habe ich die Torte nicht geteilt und habe immer noch 1 (eine) Torte. - Müsste dann eine Zahl geteilt durch 0 nicht die Ausgangszahl sein?

2)Ich habe wieder eine Torte und teile sie unter 0 Freunden auf. Da niemand zum Teilen da ist findet keine Teilung statt. - Müsste dann nicht wiederum die Ausgangszahl das Ergebnis sein?

Was für die obengenannte Aussage spricht: 1) Ich habe wieder eine Torte und teile sie in 0 Teile. Das ist eigentlich unmöglich, da die Torte ja egal ob geteilt oder nicht geteilt, zumindest aus einem Stück besteht. - Demach kann man eine Zahl wirklich nicht durch 0 teilen.

2)Würde ich eine Torte nun durch 0 teilen und annehmen es käme dabei 1 Torte als Ergebnis heraus und dann die Multiplikation, die die Umkehraufgabe der Divusion ist ausführen, dann müsste ich rechnen 1 x 0 = 0. Das Ergebnis wäre also nicht wie bei 15:3=5; 5x3=15 die Umkehrung.

Fazit: Wenn man 0 rein als Zahl betrachtet und nach Rechengesetzen gehe, dann ist die Regel zutreffend, betrachtet man null aber als Mengenangabe (keine, nichts) dann kann man wunderbar darüber philosophieren. Was meint ihr dazu?

Mathematik und Alltagssprache sind verschiedene Dinge. Ob du eine Torte durch nichts teilst, ist aber auch umgangssprachlich nicht dasselbe, als ob du die Torte nicht teilst.

Bleiben wir erst einmal in der Umgangssprache. Wenn du eine Torte auf zwei Personen aufteilst, bekommt jeder eine halbe Torte, also 1 : 2 = 0,5. Wenn du eine Torte auf eine Personen aufteilst, bekommt jeder eine ganze Torte, also 1 : 1 = 1. Wenn du eine Torte auf eine halbe Person aufteilst (Oberteil bekommt eine, Unterteil bekommt eine) bekommt die ganze Person 2 Torten, also 1 : 0,5 = 2. Genauso kann man sich vorstellen, dass du eine Torte auf eine Hundertstes Person aufteilst, was für die ganze Person hundert Torten ergibt. Eine Torte auf eine Millionstel Person aufgeteilt ergibt für die gesamte Person Millionen Torten. Man sieht, das 1 geteilt durch annähernd nichts sehr groß sein muss. Man sagt, dass der Grenzwert von 1 : n für n gegen 0 gleich Unendlich ist, wobei Unendlich keine Zahl ist, sondern ein Symbol. Es bedeutet, dass dieser Quotient unbeschränkt groß wird, je kleiner n ist.

Nun zum Mathematischen (alles sehr vereinfacht). Die Standardmathematik ist axiomatisch aufgebaut. Es gibt Axiome, die festlegen, was die natürlichen Zahlen sind. Aus diesen Axiomen kann man gewisse Eigenschaften schließen, nach einer streng vorgegebenen Logik. Man definiert Operationen wie Multiplikation usw. Dieses System mit seinen Operationen sollte widerspruchsfrei sein. Wenn man der Division durch 0 eine Zahl zuordnen würde (zur Erinnerung: Unendlich ist keine Zahl), so käme man immer zu einem Widerspruch. Wenn man 1 : 0 = 0 definiert, käme es zu einem Widerspruch mit 0 · 0 = 1. Wenn man sagt, dass 1: 0 = 1 sein soll, ergäbe 1 · 0 = 1 den Widerspruch. Daher haben die Mathematiker schlicht und ergreifend einfach festgelegt, dass das Ergebnis von Divisionen durch Null nicht definiert ist.

Ich kann mich noch gut an einen Mathematikunterricht erinnern, wo wir Schüler auch unseren Mathelehrer gefragt haben und dieser sagte damals zu uns, dass ein Teilen durch Null nicht definiert ist, aber wenn man sich der Null etwas annähert, stellt man leicht fest, dass das Ergebnis eigentlich Unendlich sein müsste. Daher ein Beispiel:

100 : 1 = 100
100 :0,1 = 1 000
100 ; 0,01 = 10 000
100 : 0,001 = 100 000

Wenn man diese Rechnung immer weiter führt, würde eine Division durch Null Unendlich entsprechen und das Unendliche ist in der Mathematik nicht definiert.

Dies ist in meinen Augen ein klassischer Fall davon, dass die Worte im Deutschen nicht unbedingt etwas mit der 0 an sich zu tun haben. Unser Lehrer hat uns früh beigebracht, dass zwischen der Zahl 0 und dem Wort "nichts / gar nichts" ein wesentlicher Unterschied liegt, den ich eben kurz einmal vorstellen möchte. Natürlich hast du Recht, dass man somit philosophieren kann, aber die Zahl 0 in der Mathematik ist nicht mit dem Wort "gar nichts" oder "nichts" zu definieren, das ist eine Sache, mit der sich viele Menschen verwechseln und dies immer wieder Aufregung bei uns in Klassenarbeiten gibt.

Ich nehme hierbei eine Aufgabe aus meiner letzten Klausur, die es vielleicht offensichtlicher macht. Die Aufgabenstellung war hierbei "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein ungerader Bube gezogen wird". Die Frage ist natürlich ein Witz, denn wann findet man in einem Skatspiel schon einen ungeraden Bube? Es handelt sich also hier um ein unmögliches Ereignis, welches nicht eintreten kann. Somit würde die Lösungsmenge in diesem Falle L {nichts} bedeuten. Anstatt das Wort "nichts" in die Lösungsmenge zu schreiben machen es sich die Mathematiker aber einfacher. Sie schreiben einfach nur L{}, dies bedeutet also, dass die Lösungsmenge leer ist. Wenn ich jetzt aber in die Lösungsmenge L {0} schreiben würde, ist das Ergebnis leider falsch. Denn es gibt nicht "null" Möglichkeiten, dass diese Karte gezogen wird, sondern es gibt halt KEINE Möglichkeiten. Es ist ein unwahrscheinlicher Fall. Die Null, ist also in diesem Fall als Zahl definiert.

Kommen wir nun genauer zum Spiel, wir schauen uns dafür eine Gleichung an. Nehmen wir uns folgende Gleichung vor 18 : 3 = 6. Dies klingt sehr logisch und die Gegenprobe wäre: 18 = 6*3. Schauen wir uns nun folgende Gleichung an 18 : x = 0. Die Gegenprobe wäre in diesem Falle dann 18 = x * 0. Man würde also niemals im Leben eine Zahl für "x" erhalten, die mit der "null" zusammen die Zahl achtzehn ergibt. Wollen wir die Gleichung deshalb lösen, zeigt unser Taschenrechner "Math Error" an, weil wir nicht : 0 nehmen können, um die Gleichung zu lösen.

Es ist eine Sache des logischen Denkens und ich glaube, wenn man in der Mathematik wirklich durch 0 teilen könnte, müssten wir so ziemlich viele Regeln auf den Kopf schmeißen und die ganze Mathematik würde sich ändern. Man sollte aber stets aufpassen, dass man die Mathematik nicht mit der deutschen Sprache verwechselt. Man kann Zahlen nicht immer unbedingt in Worten ausdrücken. Schließlich war bei meinem ersten Beispiel die Lösungsmenge leer und nicht 0, da 0 halt nicht als das Wort "nichts / gar nichts" definiert ist, sondern eher als das Wort "leer". Deshalb sollte man damit immer aufpassen. Nehmen wir uns dann dein Beispiel zu Herzen Wir teilen den Kuchen durch 0 (=leer). Dann siehst du, dass es in der deutschen Sprache auch kein Sinn mehr ergibt, denn wie teile ich einen Kuchen durch "leer"?

Wenn ich jetzt aber in die Lösungsmenge L {0} schreiben würde, ist das Ergebnis leider falsch. Denn es gibt nicht "null" Möglichkeiten, dass diese Karte gezogen wird, sondern es gibt halt KEINE Möglichkeiten.

Das ist so nicht richtig. Es gibt keine Möglichkeiten, und das sind eben genau null Möglichkeiten. Das heißt, die Anzahl der Möglichkeiten, welche in der Mathematik mit Omega (Ω) dargestellt wird, ist in diesem Fall Ω = 0. Das kann man auch so schreiben, denn es ist korrekt, dass es keine (= 0) Möglichkeiten gibt. Schreibt man jedoch L = {0}, bedeutet es nicht, dass es null Möglichkeiten gibt, sondern es bedeutet "die Möglichkeit Null". Das wäre, wenn man eine Karte ziehen würde, auf der eine Null ist (was es natürlich nicht gibt), daher kann man es eben nicht schreiben, sondern muss die leere Lösungsmenge L = {} nehmen.

Zur Ausgangsfrage von "Nessa_Alcarin":
Stell dir vor, man hätte zwei Tische, einen links, und einen rechts. Auf dem linken Tisch steht eine Torte, und auf dem rechten Tisch stehen zwei Teller. Die Torte auf dem linken Tisch ist der Dividend, also die Zahl links neben dem Geteiltzeichen in der Rechnung 1:2=0,5 und die Anzahl der Teller sind der Quotient (also die Zahl rechts neben dem Geteiltzeichen. Das Ergebnis ist dann die Menge an Torte auf einem Teller.

Du hast also die Torte und willst sie vom linken auf den rechten Tisch auf die Teller verteilen, und dafür musst du sie teilen. Du nimmst die Torte, teilst sie durch zwei und legst jede Hälfte auf einen Teller. Das Ergebnis ist die Menge an Torte auf einem Teller, also 0,5. Wenn wir das gleiche mit einer Torte, aber nur einem Teller wiederholen, wird die Torte ohne zu teilen, auf den Teller gelegt, und das Ergebnis ist 1. Wenn wir 15 Torten hätten, wäre das Ergebnis auch 15, weil wir die Torten ja nicht teilen müssen. Bei Divisionen durch 1 ist also der Dividend gleich dem Ergebnis.

Haben wir jedoch keinen, also 0 (Null) Teller, können wir nicht die Torte vom linken auf den rechten Tisch legen, weil auf dem rechten Tisch kein Teller zum Ablegen ist. Es bleibt zwar eine ganze Torte übrig (genauso wie beim Teilen durch 1), allerdings ist die Torte immer noch auf dem linken Tisch. Das heißt, wir haben die Torte gar nicht geteilt, und das geht auch nicht, weil kein Teller zum ablegen zur Verfügung steht. Das Ergebnis wäre ja die Menge an Torte auf einem Teller, aber da es keine Teller gibt, gibt es auch kein Ergebnis.

Da sträuben sich einem Mathematiker alle Haare!

Das heißt, die Anzahl der Möglichkeiten, welche in der Mathematik mit Omega (Ω) dargestellt wird, ist in diesem Fall Ω = 0..

Ω ist keine Anzahl, sondern eine Menge, das ist ein Unterschied wie Tag und Nacht. Ω ist die Menge aller Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Das Ereignis E: Ein ungerader Bauer (was immer das sein mag) ist keine Teilmenge von Ω, also das unmögliche (NICHT das unwahrscheinliche) Ereignis, also ist p(E)=0. (Die Wahrscheinlichkeit, dass E eintritt ist 0)

Stell dir vor, man hätte zwei Tische, einen links, und einen rechts. Auf dem linken Tisch steht eine Torte, und auf dem rechten Tisch stehen zwei Teller. Die Torte auf dem linken Tisch ist der Dividend, also die Zahl links neben dem Geteiltzeichen in der Rechnung 1:2=0,5 und die Anzahl der Teller sind der Quotient (also die Zahl rechts neben dem Geteiltzeichen. Das Ergebnis ist dann die Menge an Torte auf einem Teller.

Die Anzahl der Teller ist nicht der Quotient, sondern der Divisor. Der Quotient ist der Ausdruck 1:2, der Quotientenwert ist 0,5. Übrigens: Was machst du denn, wenn rechts ein halber Teller steht??

Somit würde die Lösungsmenge in diesem Falle L {nichts} bedeuten. Anstatt das Wort "nichts" in die Lösungsmenge zu schreiben machen es sich die Mathematiker aber einfacher. Sie schreiben einfach nur L{}, dies bedeutet also, dass die Lösungsmenge leer ist.

Nichts darf man auch nicht in die Mengenklammern schreiben, sonst wäre die Menge nicht leer, sondern es stünde das Wort nichts drin. Die Mathematiker machen sich es also nicht einfach, sondern anders kann man es gar nicht schreiben (außer mit einem Symbol). Man kann sich die Mengenklammern als Sack vorstellen, in dem Elemente sind, wenn der Sack leer ist, kann man auch nichts reinschreiben.

Denn es gibt nicht "null" Möglichkeiten, dass diese Karte gezogen wird, sondern es gibt halt KEINE Möglichkeiten. Es ist ein unwahrscheinlicher Fall.

Doch, es gibt 0 Möglichkeiten. Es ist kein unwahrscheinlicher Fall, sondern ein unmöglicher.