Rechenschritt um Dichtefunktion aufzulösen

Mir liegt die Lösung dieser Aufgabe vor, leider habe ich keine Ahnung, wie ich darauf komme soll:

10
∫ a – a ∗ 1/10 x dx = 1
0

10
= [ax – a ∗ 1/20 x^2 ]
0

Hatte das vor Jahren mal in der Schule, aber das weiß ich nicht mehr. Ist glaube ich auch nicht wirklich schwer zu lösen.

Das Integralzeichen (also ∫) bedeutet, dass du die nachfolgende Funktion, die bis zum dx geht, integrieren musst. Die 0 unter dem Integralzeichen und die 10 über dem Integralzeichen bedeuten, dass du dann den Wert der Integration von 0 bis 10 benötigst. Dieser Wert soll dann 1 ergeben. In den eckigen Klammern am Ende steht die integrierte Funktion, also das erwünschte Ergebnis, und zwar wiederum von 0 bis 10. Das ergibt logischerweise auch 1.

Jetzt, nachdem ich die Bedeutungen erklärt habe, komme ich zum Rechenschritt: Um eine Funktion zu integrieren, werden die Exponenten von jedem x um 1 erhöht und dann vor das x ein Bruch mit 1/(neuer Exponent von x) gebildet (es gibt noch weitere Integrationsregeln, die man für diese Funktion jedoch nicht benötigt). Alle Konstanten, die multiplikativ vor dem x stehen, bleiben so, wie sie sind. Damit es übersichtlich bleibt, teile ich die Funktion in 2 Teile: Der 1. Teil besteht schlicht aus dem a, der 2. Teil aus dem -a*1/10x.

Den ersten Teil könnte man statt einem simplen a ja auch a*x^0 schreiben (x^0=1, daher ändert sich am Wert nichts). Dann folgt man der Integrationsregel: Der Exponent von x wird um 1 erhöht, also wird es zu a*x^1 (jetzt spielt das x^1 natürlich schon eine Rolle) bzw. zu a*x. Davor muss dann der Bruch geschrieben werden, und zwar 1/(neuer Exponent von x), also 1/1. Das kann man natürlich auch weglassen, daher ergibt der erste Teil letztendlich a*x.

Der zweite, größere Teil, ist ähnlich schnell zu rechnen, obwohl er größer ist. Denn -a*1/10 wird so belassen, weil es eine multiplikative Konstante ist. Der Exponent von x (anders geschrieben als x^1) wird wiederum erhöht, zu x^2. Dann wird der Bruch vorne hinzugefügt, in diesem Fall 1/2, da ja der neue Exponent 2 ist. Das würde dann -a*1/2*1/10*x^2 ergeben, und da 1/2*1/10=1/20 ergibt, kommt letztendlich -a*1/20*x^2 heraus.

Beide Teile zusammen ergeben dann das, was bei dir schon in den eckigen Klammern steht, nämlich ax – a ∗ 1/20 x^2. Wenn dir irgendein Rechenschritt noch nicht klar genug ist und du eine detailliertere Beschreibung brauchst, kann ich (oder ein anderer User hier) dir noch helfen, aber ich glaube, das wichtigste habe ich dir jetzt beschrieben.