Was sind die Eingeschaften eines Ableitungsgraphen?

Wir beschäftigen uns in Mathematik momentan mit dem Thema Analysis und da stellte sich mir eine Frage in Bezug auf die Eigenschaften von Ableitungsgraphen. Einige Eigenschaften sind mir natürlich durchaus klar, wie beispielsweise, dass der Ableitungsgraph die Steigung des eigentlichen Graphen darstellt, er die x-Achse an den Stellen schneidet, an denen der Graph Hoch-beispielsweise Tiefpunkte hat und die Extrempunkte des Ableitungsgraphen sich dort befinden, wo der Graph seine Wendestellen hat.

Trotzdem sind mir einige Dinge unklar. Angenommen man hat nur den Ableitungsgraphen zur Hand, ohne einen Funktionsterm, nur die Zeichnung. Wie erkennt man dann, ob die Schnittpunkte des Ableitungsgraphen mit der x-Achse einen Hoch- oder Tiefpunkt im eigentlichen Graphen darstellen? Wie erkennt man wo der Graph einen Sattelpunkt hat und was bedeutet ein Sattelpunkt auf dem Ableitungsgraphen selbst? Und gibt es sonst noch Dinge, die man an einem Ableitungsgraphen im Bezug auf den Ausgangsgraph erkennen kann?

Nur noch mal zur Auffrischung: Was ist eine Ableitung? Da findest du alle Grundlagen des Differenzierens und Integrierens.

Jetzt speziell zu deinen Fragen: Ob eine Nullstelle auf dem Ableitungsgraphen einen Hoch- oder einen Tiefpunkt auf dem Funktiongsgraphen markiert, erkennst du am Vorzeichenwechsel des Ableitungsgraphen. Markiert die Nullstelle ein Maximum, so fällt der Ableitungsgraph vom Positiven ins Negative weil die Steigung an einem Maximum steigt, dann stagniert, dann fällt. Genau anders herum ist es an einem Minimum: Der Ableitungsgraphen wechselt vom Negativen ins Positive, weil die Steigung an einem Maximum fällt, stagniert, und dann steigt.

Für Hoch-, Tief-, Wende- und Sattelpunkte gibt es ein relativ einfaches Schema, nach dem du sie an den Graphen erkennen kannst:

Hochpunkt: f'(x) = 0 | f''(x) < 0 | f'''(x) = egal
Tiefpunkt: f'(x) = 0 | f''(x) > 0 | f'''(x) = egal
Wendepunkt: f'(x) =/ 0 | f''(x) = 0 | f'''(x) =/ 0
Sattelpunkt: f'(x) = 0 | f''(x) = 0 | f'''(x) =/ 0

Wie du siehst, unterscheiden sich Wende- und Sattelpunkt nur darin, dass der Wendepunkt in der ersten Ableitung die x-Achse nicht berührt - der Sattelpunkt schon. Bedeutet: Ein Extremum in der ersten Ableitung bedeutet immer einen Wende- oder einen Sattelpunkt. Berührt dieses Extremum noch dazu die x-Achse, ist es ein Sattelpunkt.

Verlässlich nachprüfen lässt sich das Ganze, wenn du die zweite und dritte Ableitung grafisch aus der ersten konstruierst - muss man aber nicht.